Black-Scholes y Black-76
Black-Scholes es el modelo clásico que valora una opción europea a partir del precio del subyacente, el strike, el tiempo, la tasa de interés y la volatilidad; Black-76 es su versión escrita sobre el forward, que es como se valoran las opciones cripto.
La idea
Black, Scholes y Merton mostraron en 1973 que una opción puede replicarse operando el subyacente de forma continua, así que su precio no puede depender de la visión de nadie sobre la dirección, solo de cuánto se mueve el subyacente. Si se supone que el precio sigue un paseo aleatorio lognormal con volatilidad constante, el valor justo de la opción sale en forma cerrada.
La versión de Black de 1976 escribe la misma fórmula sobre el forward F del vencimiento de la opción en lugar del spot. Las opciones cripto se valoran así, porque cada vencimiento tiene su propio forward y la cobertura es un futuro para esa fecha:
call = F × N(d1) − K × N(d2), put = K × N(−d2) − F × N(−d1)
con d1 = (ln(F / K) + σ²T / 2) / (σ√T), d2 = d1 − σ√T, N la distribución normal estándar, σ la volatilidad y T los años al vencimiento. (Con una tasa distinta de cero, ambos precios se multiplican además por un factor de descuento.)
Los datos de entrada
- Forward y strike: conocidos.
- Tiempo al vencimiento: conocido; cripto opera todos los días, así que se cuenta en días calendario sobre 365.
- Tasa de interés: solo descuenta el pago; en semanas cambia muy poco el precio (rho).
- Volatilidad: la única incógnita. El mercado resuelve la fórmula al revés para obtenerla, y esa es la volatilidad implícita.
Un ejemplo práctico
Una call de BTC en el dinero a 30 días: F = K = $100.000, σ = 50%, T = 30 / 365.
- σ√T = 0,50 × √(30/365) ≈ 0,1433;
- d1 = (0 + 0,1433² / 2) / 0,1433 ≈ 0,0717 y d2 ≈ −0,0717;
- N(d1) ≈ 0,5286 y N(d2) ≈ 0,4714;
- call = $100.000 × (0,5286 − 0,4714) ≈ $5.714.
La put del mismo strike también vale $5.714: con F = K, la paridad put-call dice que call menos put es cero. Una verificación rápida: una opción en el dinero cuesta alrededor de 0,4 × F × σ√T, aquí $5.734. Sube la volatilidad al 55% y la call vale $6.284, $570 más en cinco puntos, unos $114 por punto de volatilidad, que es su vega.
Supuestos que cripto rompe
El modelo supone un precio lognormal con una única volatilidad constante, operación continua sin saltos y cobertura sin fricciones. BTC viola todo eso: la volatilidad cambia todo el tiempo, los precios saltan con las noticias y las cascadas de liquidaciones forzosas, los retornos tienen colas gruesas y cubrirse cuesta spreads y comisiones. El mercado no arregla el modelo; usa una volatilidad distinta para cada strike y vencimiento de modo que el modelo reproduzca los precios reales. Ese patrón es la sonrisa y la estructura temporal.
Así que Black-76 se entiende mejor como un traductor entre precios y volatilidades implícitas, no como un pronóstico.
Dónde lo usa BOSS
Los precios y las griegas en vivo en BOSS son los de los propios exchanges. El modelo entra donde el mercado no puede responder: las curvas de griegas a lo largo de un rango de precios, y los precios de modelo detrás de los escenarios de la estimación de margen de cartera, son Black-76 con tasa cero, a la volatilidad implícita de cada opción (con shocks al alza y a la baja en los escenarios de margen). La tasa cero es una simplificación deliberada: cripto no tiene una única tasa libre de riesgo, y en los horizontes que cubren estos gráficos la forma de las curvas casi no depende de ella.
En vivo en BOSS
La call y la put en el dinero de hoy para el vencimiento seleccionado: el precio medio de mercado junto al precio Black-76 a la volatilidad implícita de la propia opción y al forward del vencimiento. La pequeña diferencia se debe sobre todo a que el exchange calcula la IV a partir de su marca, no del precio medio.
| Tipo? | Strike | Forward | IV | Precio medio de mercado | Black-76 a su IV | Diferencia | Bid / ask |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Call | $87000.00 | $86530.66 | 33.2% | $1384.49 | $1382.95 | $1.54 | $1341.23 / $1427.76 |
| Put | $87000.00 | $86530.66 | 33.2% | $1838.78 | $1852.29 | -$13.52 | $1773.88 / $1903.67 |
El precio de modelo usa la volatilidad implícita de cada opción, sobre el forward del vencimiento, con tasa cero. El exchange calcula esa IV a partir de su propio precio de marca, así que el modelo cae sobre la marca: una diferencia de pocos dólares es redondeo y detalles del modelo del exchange, y una mayor es el precio medio alejándose de la marca.
Errores comunes
- Tratar el precio del modelo como el valor verdadero: con la volatilidad implícita como dato de entrada, el modelo reproduce al mercado en lugar de juzgarlo.
- Valorar una opción cripto contra el spot en lugar del forward de su vencimiento.
- Usar una sola volatilidad para todos los strikes y vencimientos, ignorando la sonrisa y la estructura temporal.
- Confiar en las colas lognormales del modelo: los movimientos grandes en cripto son mucho más frecuentes de lo que supone.
Dónde aparece en BOSS
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