Black-Scholes e Black-76

A ideia

Black, Scholes e Merton mostraram em 1973 que uma opção pode ser replicada negociando o ativo-objeto continuamente, então o seu preço não pode depender da visão de ninguém sobre a direção, só de quanto o ativo-objeto se move. Supondo que o preço segue um passeio aleatório lognormal com volatilidade constante, o valor justo da opção sai em forma fechada.

A versão de Black de 1976 escreve a mesma fórmula sobre o forward F do vencimento da opção em vez do spot. As opções cripto são precificadas assim, porque cada vencimento tem o seu próprio forward e o hedge é um futuro para aquela data:

call = F × N(d1) − K × N(d2),  put = K × N(−d2) − F × N(−d1)

com d1 = (ln(F / K) + σ²T / 2) / (σ√T), d2 = d1 − σ√T, N a distribuição normal padrão, σ a volatilidade e T os anos até o vencimento. (Com juros diferentes de zero, os dois preços também são multiplicados por um fator de desconto.)

As entradas

• Forward e strike: conhecidos.
• Prazo até o vencimento: conhecido; cripto negocia todos os dias, então ele é contado em dias corridos sobre 365.
• Taxa de juros: só desconta o payoff; em semanas ela muda muito pouco o preço (rho).
• Volatilidade: a única incógnita. O mercado resolve a fórmula de trás para frente para obtê-la, e essa é a volatilidade implícita.

Um exemplo resolvido

Uma call de BTC no dinheiro de 30 dias: F = K = $100.000, σ = 50%, T = 30 / 365.

• σ√T = 0,50 × √(30/365) ≈ 0,1433;
• d1 = (0 + 0,1433² / 2) / 0,1433 ≈ 0,0717 e d2 ≈ −0,0717;
• N(d1) ≈ 0,5286 e N(d2) ≈ 0,4714;
• call = $100.000 × (0,5286 − 0,4714) ≈ $5.714.

A put do mesmo strike também vale $5.714: com F = K, a paridade put-call diz que call menos put é zero. Uma conferência rápida: uma opção no dinheiro custa cerca de 0,4 × F × σ√T, aqui $5.734. Suba a volatilidade para 55% e a call passa a valer $6.284, $570 a mais em cinco pontos, cerca de $114 por ponto de volatilidade, que é o seu vega.

Hipóteses que cripto quebra

O modelo supõe um preço lognormal com uma única volatilidade constante, negociação contínua sem saltos e hedge sem atrito. O BTC viola tudo isso: a volatilidade muda o tempo todo, os preços saltam com notícias e cascatas de liquidações forçadas, os retornos têm caudas gordas e fazer hedge custa spreads e taxas. O mercado não conserta o modelo; usa uma volatilidade diferente para cada strike e vencimento de modo que o modelo reproduza os preços reais. Esse padrão é o smile e a estrutura a termo.

Então o Black-76 é melhor entendido como um tradutor entre preços e volatilidades implícitas, não como uma previsão.

Onde o BOSS o usa

Os preços e as gregas ao vivo no BOSS são os das próprias venues. O modelo entra onde o mercado não consegue responder: as curvas das gregas ao longo de uma faixa de preços, e os preços de modelo por trás dos cenários da estimativa de margem de portfólio, são Black-76 com juros zero, na volatilidade implícita de cada opção (com choques para cima e para baixo nos cenários de margem). Os juros zero são uma simplificação deliberada: cripto não tem uma única taxa de juros livre de risco, e nos horizontes que esses gráficos cobrem o formato das curvas quase não depende deles.