Gregas de uma posição

Somando gregas entre pernas

Cada grega de uma opção isolada é uma sensibilidade por contrato: o delta por $1 do ativo-objeto, o gamma como a mudança do delta por $1 do ativo-objeto, o vega por ponto de volatilidade implícita, o theta por dia, o rho por ponto percentual de juros. Uma estratégia é uma lista de pernas, cada uma com um lado e uma proporção, então as suas gregas são uma soma ponderada:

grega líquida = Σ (sinal × proporção × grega da perna), com sinal +1 para uma perna comprada e −1 para uma vendida.

Uma perna no próprio ativo-objeto (a moeda de um lançamento coberto de call, ou um futuro) contribui com delta 1 por unidade e mais nada. A soma funciona porque cada grega é uma derivada, e derivadas se somam. É também por isso que uma única fórmula cobre todas as estruturas do BOSS, de uma call isolada a um condor de quatro pernas, sem caso especial para nenhum formato.

Um exemplo resolvido: um condor de ferro vendido

BTC a $100.000, 30 dias até o vencimento, todas as pernas a 50% de volatilidade implícita (plana, para manter os números limpos). Compre a put de $85.000, venda a put de $90.000, venda a call de $110.000, compre a call de $115.000. O condor de ferro vendido recebe um crédito líquido de cerca de $1.916. Com o sinal de cada perna já aplicado:

Perna	Delta	Gamma (por $1.000)	Vega	Theta por dia
Put de $85.000 comprada	−0,1140	+0,01346	+$55,31	−$46,09
Put de $90.000 vendida	+0,2099	−0,02010	−$82,61	+$68,84
Call de $110.000 vendida	−0,2765	−0,02334	−$95,92	+$79,93
Call de $115.000 comprada	+0,1832	+0,01851	+$76,06	−$63,38
Líquido	+0,0026	−0,01147	−$47,16	+$39,30

Leia a linha líquida como uma única posição: um delta perto de zero quer dizer que um movimento pequeno quase não muda o seu valor; um theta de +$39 por dia quer dizer que ela ganha com a passagem do tempo; gamma e vega negativos querem dizer que ela perde com movimentos grandes e com a alta da volatilidade implícita.

Delta neutro não é risco neutro

Os strikes vendidos do condor estão mais perto do dinheiro que as suas asas compradas, então as opções que ele vende têm mais gamma e vega que as que compra. No líquido, ele está vendido nos dois, mesmo com um delta praticamente nulo.

Isso aparece assim que o preço se move. Reprecificado à mesma IV de 50%, com o BTC a $105.000 o condor perde cerca de $121 e o seu delta passa a −0,049; a $95.000 perde cerca de $160, com delta de +0,061. Nos dois casos o delta agora aponta contra o movimento, que é o que gamma negativo significa. Com o BTC parado, uma alta de cinco pontos na IV custa cerca de $222. São perdas na marcação antes do vencimento; no vencimento, qualquer preço entre $90.000 e $110.000 mantém todo o crédito, e o máximo que ele pode perder é $5.000 − $1.916 = $3.084.

A mesma aritmética explica outros formatos. Um lançamento coberto é o delta 1 da moeda mais o −0,53 de uma call vendida: cerca de 0,47, com o gamma e o vega negativos da call vendida. Um long straddle soma o gamma e o vega positivos de uma call e de uma put, com deltas que quase se cancelam.

Gregas da venue e curvas do BOSS

Na página de uma estratégia, as métricas da estrutura mostram as suas gregas líquidas a partir das gregas que cada venue informa, somadas com sinal e proporção como acima. Elas só valem no preço atual: nenhuma venue informa qual seria o delta em outro preço.

As curvas das gregas ao longo de uma faixa de preços são do próprio BOSS: Black-Scholes com juros zero, cada perna com a sua volatilidade implícita e o seu prazo até o vencimento atuais, somadas da mesma forma. O vega é por ponto de volatilidade e o theta por dia corrido, a convenção das venues. No preço de hoje as duas podem diferir um pouco, já que as venues usam os seus próprios modelos e forwards. Longe dele, as curvas mantêm fixa a IV de cada perna, enquanto numa queda real a IV das puts costuma subir, então um condor vendido perderia mais do que a curva sugere.